E' chiaro che la radio non è "nata" così...
Io direi che l'interruttore produce solo il "click" (come se funzionasse) ma in realtà non fa il suo dovere che è, per l'appunto di interrompere l'alimentazione elettrica generale.
Dunque, anche dopo lo scatto di apparente "spegnimento", non rimarrebbe accesa solo la lampadina ma l'intera radio, ciò che può non essere evidente perché il volume è al minimo. Tuttavia, avvicinando l'orecchio all'altoparlante si dovrebbe sentire almeno un po' di fruscio.

Soluzione?
Trovare un potenziometro con interruttore adatto e sostituirlo a quello attuale, oppure tentare di riparare o sbloccare l'interruttore che ora non si apre.
Alternative?
Tenersi la radio così com'è, ricordando che per spegnerela si deve staccare la spina...